I föregående inlägg härleddes en ekvation som gav det approximativa sambandet mellan geometrisk och aritmetisk avkastning.
\begin{equation}
R = k\mu-\frac{1}{2}k^2\sigma^2
\end{equation}
Genom att hitta optimera och lösa ut hävstången k fås den optimala positionsstorleken givet att man vill ha så hög avkastning som möjligt. Detta är användbart om man enbart handlar med en strategi, man vad händer om man har flera? För oberoende strategier håller fortfarande ekvationen applicerat på varje strategi var för sig, men när det finns en korrelation kommer resultatet att skilja sig från det optimala. Då är det praktiskt att ekvationen lätt generaliserar sig till en portfölj med strategier.
Med en portfölj som investerar i n strategier kommer ekvationen att blir
\begin{equation}
R = \vec{x}^{\intercal} \vec{\mu}-\frac{1}{2}\vec{x}^{\intercal} C \vec{x}
\end{equation}
där $\vec{x}$ är viktvektorn, $\vec{\mu}$ medelavkastningarna för n strategier och $C$ är matrisen för kovarianserna. Tas gradienten av detta så ges sedan $\vec{x}$ som lösningen till n linjära ekvationer.
\begin{equation}
\nabla R = \vec{\mu}- C \vec{x}= \vec 0\\ \Rightarrow
\vec{x} = C^{-1}\vec{\mu}
\end{equation}
Till skillnad från andra portföljoptimeringsproblem har denna en väldigt enkel analytisk lösning. Som ett test på hur det fungerar i praktiken används tre strategierna baserade på glidande medelvärden, RSI(3) och RSI(2) på OMXS30 de senaste 13 åren. Vikterna som kommer ut är $\vec{x} = [\text{4.52 3.82 0.28}]$.
Problemet är såklart att en så stor hävstång inte alltid är rimlig, så ett rimligt bivillkor är att $\sum_{i}^{n} x_i=1$, alternativt vad ens maximala hävstång är. Med hjälp av Lagrangemultiplikator kan ekvationen omformuleras till att lösa $n+1$ linjära ekvationer som maximerar avkastningen givet att vikterna summeras till 1. För testportföljen ger det $\vec{x} = [\text{0.07 1.87 -0.95}]$ med ett CAGR på 12,35%. Notera hur portföljen viktats nästan exklusivt till RSI(3) jämfört med föregående lösning. MA250 ges väldigt liten vikt medan RSI(2) får en negativ vikt p.g.a. korrelationen med RSI(3).
KvA.
\begin{equation}
R = k\mu-\frac{1}{2}k^2\sigma^2
\end{equation}
Genom att hitta optimera och lösa ut hävstången k fås den optimala positionsstorleken givet att man vill ha så hög avkastning som möjligt. Detta är användbart om man enbart handlar med en strategi, man vad händer om man har flera? För oberoende strategier håller fortfarande ekvationen applicerat på varje strategi var för sig, men när det finns en korrelation kommer resultatet att skilja sig från det optimala. Då är det praktiskt att ekvationen lätt generaliserar sig till en portfölj med strategier.
Med en portfölj som investerar i n strategier kommer ekvationen att blir
\begin{equation}
R = \vec{x}^{\intercal} \vec{\mu}-\frac{1}{2}\vec{x}^{\intercal} C \vec{x}
\end{equation}
där $\vec{x}$ är viktvektorn, $\vec{\mu}$ medelavkastningarna för n strategier och $C$ är matrisen för kovarianserna. Tas gradienten av detta så ges sedan $\vec{x}$ som lösningen till n linjära ekvationer.
\begin{equation}
\nabla R = \vec{\mu}- C \vec{x}= \vec 0\\ \Rightarrow
\vec{x} = C^{-1}\vec{\mu}
\end{equation}
Till skillnad från andra portföljoptimeringsproblem har denna en väldigt enkel analytisk lösning. Som ett test på hur det fungerar i praktiken används tre strategierna baserade på glidande medelvärden, RSI(3) och RSI(2) på OMXS30 de senaste 13 åren. Vikterna som kommer ut är $\vec{x} = [\text{4.52 3.82 0.28}]$.
Problemet är såklart att en så stor hävstång inte alltid är rimlig, så ett rimligt bivillkor är att $\sum_{i}^{n} x_i=1$, alternativt vad ens maximala hävstång är. Med hjälp av Lagrangemultiplikator kan ekvationen omformuleras till att lösa $n+1$ linjära ekvationer som maximerar avkastningen givet att vikterna summeras till 1. För testportföljen ger det $\vec{x} = [\text{0.07 1.87 -0.95}]$ med ett CAGR på 12,35%. Notera hur portföljen viktats nästan exklusivt till RSI(3) jämfört med föregående lösning. MA250 ges väldigt liten vikt medan RSI(2) får en negativ vikt p.g.a. korrelationen med RSI(3).
KvA.
