Optimal Positionsstorlek: högsta värdefall

Från förra inlägget blev det klart att den maximala avkastningen för en strategi fås när storleken på en position är maximalt
\begin{equation}
k = \frac{\mu}{\sigma^2}
\end{equation}
där $\mu$ är medelvärdet för varje affär och $\sigma$ är standardavvikelsen. Det är dock inte alltid rimligt att satsa så mycket om risken som tas är för stor för investerarens preferenser. Ett sätt att definiera den risken är standardavvikelse, i vilket fall risken är $k \sigma$. Ett annat sätt, som kanske är mer kännbart än standardavvikelsen, är värdefallet från en tidigare toppnivå. Här hade det varit användbart med en formel för värdefallet vid en viss kvantil, så att det gick att se vad värdefallet översteg givet en viss sannolikhet.    

En bra början är då att titta på ett fall då vi har en investering som i varje steg ger en avkastning $\Delta \pi$ med medelvärdet $\mu$ och standardavvikelsen $\sigma$ som varierar med en normalfördelat variabel $\epsilon \sim N(0,1)$. [Bailey, 2012]
\begin{equation}
\Delta \pi = \mu + \sigma \epsilon
\end{equation}
Den totala avkastningen vid tiden t blir
\begin{equation}
\pi_t = \sum_{}^{t} \Delta \pi
\end{equation}
 Härifrån kan man definiera kvantil-funktionen, som ger värdefallet med sannolikheten $\alpha$ som $ min(0,-Q_{\alpha})$.
\begin{equation}
Q_{\alpha}(t) = \mu t + \lambda_{alpha} \sigma \sqrt{t}
\end{equation}
där $\lambda_{alpha}$ är det kritiska värdet för normalfördelningen. Derivatan och det t som minimerar $Q$ ges av
\begin{equation}
\frac{dQ_{\alpha}(t)}{dt} = \mu + \frac{1}{2\sqrt{t}}\lambda_{\alpha} \sigma =0
\Rightarrow
 t = (\frac{\lambda_{\alpha} \sigma}{2\mu})^2
\end{equation}

Insatt i Q igen ger det att det maximala värdefallet med sannolikheten $\alpha$ är
\begin{equation}
MinQ_{\alpha} = -\frac{(\lambda_{\alpha} \sigma)^2}{4\mu}
\end{equation}

Man inser lätt genom att titta på ekvationen att värdefallet inte verkar vara begränsat till -100%. Vi antar här att man kan satsa samma summa varje gång, oberoende av hur mycket kapital man har kvar från förra affären. Låt oss då titta på värdefallet i små tidssteg av $\frac{1}{n}$ som ger värdefaller $-\frac{(\lambda_{\alpha} \sigma)^2}{4\mu n}$. Sammanlagt kommer då alla dessa tidssteg att ge ett värdefall på
\begin{equation}
\left (1-\frac{(\lambda_{\alpha} \sigma)^2}{4\mu n} \right)^n -1 \rightarrow e^{-\frac{(\lambda_{\alpha} \sigma)^2}{4\mu}}-1 \text{ då n} \rightarrow \infty
\end{equation}
Nu är värdefallet begränsat vid -100% och följer fortfarande $MinQ_{\alpha}$ för små värden på exponenten. Med en hävstång på k för varje affär blir resultatet $e^{-\frac{(\lambda_{\alpha} \sigma)^2}{4\mu}\times k}-1$. På samma sätt som i förra inlägget kan v titta på de dagliga avkastningarna för XACT OMXS30 med en hävstång k och jämföra det uppmätta värdefallet för 0,4%-percentilen (ungefär en dag om året, $\lambda_{\alpha} \approx 2,65$).



Exempelvis med $k = \frac{\mu}{\sigma^2}$ ger det värdefallet $e^{\frac{2,65^2}{4}}-1 \approx -83$%, vilket kan kännas ganska mycket. Generellt för ett förväntat värdefall på $x$% blir hävstången $k = \frac{-4 \mu ln(1-x\text{%})}{\lambda_{\alpha}^2 \sigma^2}$. För XACT OMXS30 blir för $x=30$ med samma sannolikhet som förut $k = 0,35$, med en årlig avkastning på endast 3%. Vill man ha högre avkastning blir då lösningen att antingen acceptera högre värdefall eller leta efter en bättre investering.


KvA

Optimal Positionsstorlek: maximerad geometrisk tillväxt

Storleken på positioner är en grundläggande frågeställning inom all trading. Givet ett objektiv (vanligtvis att maximera vinsten) ska man ställa in positionsstorleken så att det uppfylld under bivillkor (maximal accepterbar risk, maximal tillgänglig hävstång, likviditet, etc,..). Bortsett från bivillkoren så finns det fortfarande ett tak för hur stor varje position, vilket relaterar till effekten volatilitet har på den avkastningen hos en portfölj.

Vanligtvis redovisas den årliga avkastningen hos fonder som ett medelvärde för alla år. Detta är dock förutsätter dock att man investerar lika mycket vid början på varje år, vilket troligtvis inte är fallet. Snarare påverkas investeringen av ränta-på-ränta, vilket gör att den verkliga avkastningen som erhålls är geometrisk. Hur den förhåller sig till ett enkelt medelvärde är inte uppenbart, men det går dock att hitta en praktiskt användbar relation sinsemellan.  

Den genomsnittliga geometriska och aritmetiska avkastningen är
\begin{equation}
R = -1 + \prod_{i=1}^{n}(1+r_i)^{\frac{1}{n}}
\\
\mu = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}r_i
\end{equation}

 Faktorerna i R kan lätt taylorutvecklas om man antar små värden på r till
\begin{equation}
 (1+r)^{\frac{1}{n}} \approx 1 +\frac{1}{n}r+\frac{1-n}{2n^2}r^2
\end{equation}
 Vilket insatt ger (bortsett från alla termer av grad tre eller högre)
\begin{equation}
R  \approx -1 + \prod_{i=1}^{n}(1 +\frac{1}{n}r+\frac{1-n}{2n^2}r^2) \approx \frac{1}
{n}\sum_{i=1}^{n}r_i +\frac{1}
{n^2}\sum_{i \neq j}^{n}r_i r_j +\frac{1-n}
{2n^2}\sum_{i=1}^{n}r_i^2 =
\\
 \mu +
 \frac{1}{n^2}\sum_{i \neq j}^{n}r_i r_j +\frac{1}
{2n^2}\sum_{i=1}^{n}r_i^2  -\frac{1}
{2n}\sum_{i=1}^{n}r_i^2 =
 \mu - \frac{1}{2}(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}r_i^2-
 \frac{2}{n^2}\sum_{i \neq j}^{n}r_i r_j -\frac{1}
{n^2}\sum_{i=1}^{n}r_i^2 
)=\\
\mu - \frac{1}{2}(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}r_i^2-
 \frac{1}{n}\sum_{i =0}^{n}r_i \times \frac{1}{n}\sum_{i =0}^{n}r_i) = 
\mu - \frac{1}{2}(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}r_i^2-
\mu^2)
\end{equation}

Den sista termen är ett annat uttryck för variansen. Om man antar att man för varje avkastning r satsar en faktor k av sitt kapital blir relationen till slut
\begin{equation}
R = k\mu-\frac{1}{2}k^2\sigma^2
\end{equation}
Detta är anledningen till att högre hävstång inte alltid ger högre avkastning. För små värden på k kommer hävstången att vara ungefär proportionell, och för stora k:n är avkastningen negativ oavsett hur stort $\mu$ är.

Som ett exempel kan man titta på dagliga avkastningar för XACT OMXS30 under dess historik och plotta avkastningen som funktion av k. För små k är det en väldigt bra approximation, medan de försummade termerna börjar synas när k ökar.  



Maximal avkastning får man genom att optimera $R(k)$ vilket ger lösningen $k=\frac{\mu}{\sigma^2}$, en formel som populärt kallas Kelly-kriteriet (en diskret version är vanlig i spelvärlden). Detta ger en övre gräns för hur stor position man bör ta. Vi har ännu inte tagit något hänsyn till risk, men att satsa mer än värdet givet av Kelly kommer enbart ge högre risk med lägre avkastning. Med detta som grund kan man bygga på mer genomgående metod för att optimera storleken på varje affär. 

KvA