Från förra inlägget blev det klart att den maximala avkastningen för en strategi fås när storleken på en position är maximalt
\begin{equation}
k = \frac{\mu}{\sigma^2}
\end{equation}
där $\mu$ är medelvärdet för varje affär och $\sigma$ är standardavvikelsen. Det är dock inte alltid rimligt att satsa så mycket om risken som tas är för stor för investerarens preferenser. Ett sätt att definiera den risken är standardavvikelse, i vilket fall risken är $k \sigma$. Ett annat sätt, som kanske är mer kännbart än standardavvikelsen, är värdefallet från en tidigare toppnivå. Här hade det varit användbart med en formel för värdefallet vid en viss kvantil, så att det gick att se vad värdefallet översteg givet en viss sannolikhet.
En bra början är då att titta på ett fall då vi har en investering som i varje steg ger en avkastning $\Delta \pi$ med medelvärdet $\mu$ och standardavvikelsen $\sigma$ som varierar med en normalfördelat variabel $\epsilon \sim N(0,1)$. [Bailey, 2012]
\begin{equation}
\Delta \pi = \mu + \sigma \epsilon
\end{equation}
Den totala avkastningen vid tiden t blir
\begin{equation}
\pi_t = \sum_{}^{t} \Delta \pi
\end{equation}
Härifrån kan man definiera kvantil-funktionen, som ger värdefallet med sannolikheten $\alpha$ som $ min(0,-Q_{\alpha})$.
\begin{equation}
Q_{\alpha}(t) = \mu t + \lambda_{alpha} \sigma \sqrt{t}
\end{equation}
där $\lambda_{alpha}$ är det kritiska värdet för normalfördelningen. Derivatan och det t som minimerar $Q$ ges av
\begin{equation}
\frac{dQ_{\alpha}(t)}{dt} = \mu + \frac{1}{2\sqrt{t}}\lambda_{\alpha} \sigma =0
\Rightarrow
t = (\frac{\lambda_{\alpha} \sigma}{2\mu})^2
\end{equation}
Insatt i Q igen ger det att det maximala värdefallet med sannolikheten $\alpha$ är
\begin{equation}
MinQ_{\alpha} = -\frac{(\lambda_{\alpha} \sigma)^2}{4\mu}
\end{equation}
Man inser lätt genom att titta på ekvationen att värdefallet inte verkar vara begränsat till -100%. Vi antar här att man kan satsa samma summa varje gång, oberoende av hur mycket kapital man har kvar från förra affären. Låt oss då titta på värdefallet i små tidssteg av $\frac{1}{n}$ som ger värdefaller $-\frac{(\lambda_{\alpha} \sigma)^2}{4\mu n}$. Sammanlagt kommer då alla dessa tidssteg att ge ett värdefall på
\begin{equation}
\left (1-\frac{(\lambda_{\alpha} \sigma)^2}{4\mu n} \right)^n -1 \rightarrow e^{-\frac{(\lambda_{\alpha} \sigma)^2}{4\mu}}-1 \text{ då n} \rightarrow \infty
\end{equation}
Nu är värdefallet begränsat vid -100% och följer fortfarande $MinQ_{\alpha}$ för små värden på exponenten. Med en hävstång på k för varje affär blir resultatet $e^{-\frac{(\lambda_{\alpha} \sigma)^2}{4\mu}\times k}-1$. På samma sätt som i förra inlägget kan v titta på de dagliga avkastningarna för XACT OMXS30 med en hävstång k och jämföra det uppmätta värdefallet för 0,4%-percentilen (ungefär en dag om året, $\lambda_{\alpha} \approx 2,65$).
Exempelvis med $k = \frac{\mu}{\sigma^2}$ ger det värdefallet $e^{\frac{2,65^2}{4}}-1 \approx -83$%, vilket kan kännas ganska mycket. Generellt för ett förväntat värdefall på $x$% blir hävstången $k = \frac{-4 \mu ln(1-x\text{%})}{\lambda_{\alpha}^2 \sigma^2}$. För XACT OMXS30 blir för $x=30$ med samma sannolikhet som förut $k = 0,35$, med en årlig avkastning på endast 3%. Vill man ha högre avkastning blir då lösningen att antingen acceptera högre värdefall eller leta efter en bättre investering.
KvA
\begin{equation}
k = \frac{\mu}{\sigma^2}
\end{equation}
där $\mu$ är medelvärdet för varje affär och $\sigma$ är standardavvikelsen. Det är dock inte alltid rimligt att satsa så mycket om risken som tas är för stor för investerarens preferenser. Ett sätt att definiera den risken är standardavvikelse, i vilket fall risken är $k \sigma$. Ett annat sätt, som kanske är mer kännbart än standardavvikelsen, är värdefallet från en tidigare toppnivå. Här hade det varit användbart med en formel för värdefallet vid en viss kvantil, så att det gick att se vad värdefallet översteg givet en viss sannolikhet.
En bra början är då att titta på ett fall då vi har en investering som i varje steg ger en avkastning $\Delta \pi$ med medelvärdet $\mu$ och standardavvikelsen $\sigma$ som varierar med en normalfördelat variabel $\epsilon \sim N(0,1)$. [Bailey, 2012]
\begin{equation}
\Delta \pi = \mu + \sigma \epsilon
\end{equation}
Den totala avkastningen vid tiden t blir
\begin{equation}
\pi_t = \sum_{}^{t} \Delta \pi
\end{equation}
Härifrån kan man definiera kvantil-funktionen, som ger värdefallet med sannolikheten $\alpha$ som $ min(0,-Q_{\alpha})$.
\begin{equation}
Q_{\alpha}(t) = \mu t + \lambda_{alpha} \sigma \sqrt{t}
\end{equation}
där $\lambda_{alpha}$ är det kritiska värdet för normalfördelningen. Derivatan och det t som minimerar $Q$ ges av
\begin{equation}
\frac{dQ_{\alpha}(t)}{dt} = \mu + \frac{1}{2\sqrt{t}}\lambda_{\alpha} \sigma =0
\Rightarrow
t = (\frac{\lambda_{\alpha} \sigma}{2\mu})^2
\end{equation}
Insatt i Q igen ger det att det maximala värdefallet med sannolikheten $\alpha$ är
\begin{equation}
MinQ_{\alpha} = -\frac{(\lambda_{\alpha} \sigma)^2}{4\mu}
\end{equation}
Man inser lätt genom att titta på ekvationen att värdefallet inte verkar vara begränsat till -100%. Vi antar här att man kan satsa samma summa varje gång, oberoende av hur mycket kapital man har kvar från förra affären. Låt oss då titta på värdefallet i små tidssteg av $\frac{1}{n}$ som ger värdefaller $-\frac{(\lambda_{\alpha} \sigma)^2}{4\mu n}$. Sammanlagt kommer då alla dessa tidssteg att ge ett värdefall på
\begin{equation}
\left (1-\frac{(\lambda_{\alpha} \sigma)^2}{4\mu n} \right)^n -1 \rightarrow e^{-\frac{(\lambda_{\alpha} \sigma)^2}{4\mu}}-1 \text{ då n} \rightarrow \infty
\end{equation}
Nu är värdefallet begränsat vid -100% och följer fortfarande $MinQ_{\alpha}$ för små värden på exponenten. Med en hävstång på k för varje affär blir resultatet $e^{-\frac{(\lambda_{\alpha} \sigma)^2}{4\mu}\times k}-1$. På samma sätt som i förra inlägget kan v titta på de dagliga avkastningarna för XACT OMXS30 med en hävstång k och jämföra det uppmätta värdefallet för 0,4%-percentilen (ungefär en dag om året, $\lambda_{\alpha} \approx 2,65$).
Exempelvis med $k = \frac{\mu}{\sigma^2}$ ger det värdefallet $e^{\frac{2,65^2}{4}}-1 \approx -83$%, vilket kan kännas ganska mycket. Generellt för ett förväntat värdefall på $x$% blir hävstången $k = \frac{-4 \mu ln(1-x\text{%})}{\lambda_{\alpha}^2 \sigma^2}$. För XACT OMXS30 blir för $x=30$ med samma sannolikhet som förut $k = 0,35$, med en årlig avkastning på endast 3%. Vill man ha högre avkastning blir då lösningen att antingen acceptera högre värdefall eller leta efter en bättre investering.
KvA
Inga kommentarer:
Skicka en kommentar