Storleken på positioner är en grundläggande frågeställning inom all trading. Givet ett objektiv (vanligtvis att maximera vinsten) ska man ställa in positionsstorleken så att det uppfylld under bivillkor (maximal accepterbar risk, maximal tillgänglig hävstång, likviditet, etc,..). Bortsett från bivillkoren så finns det fortfarande ett tak för hur stor varje position, vilket relaterar till effekten volatilitet har på den avkastningen hos en portfölj.
Vanligtvis redovisas den årliga avkastningen hos fonder som ett medelvärde för alla år. Detta är dock förutsätter dock att man investerar lika mycket vid början på varje år, vilket troligtvis inte är fallet. Snarare påverkas investeringen av ränta-på-ränta, vilket gör att den verkliga avkastningen som erhålls är geometrisk. Hur den förhåller sig till ett enkelt medelvärde är inte uppenbart, men det går dock att hitta en praktiskt användbar relation sinsemellan.
Den genomsnittliga geometriska och aritmetiska avkastningen är
\begin{equation}
R = -1 + \prod_{i=1}^{n}(1+r_i)^{\frac{1}{n}}
\\
\mu = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}r_i
\end{equation}
Faktorerna i R kan lätt taylorutvecklas om man antar små värden på r till
\begin{equation}
(1+r)^{\frac{1}{n}} \approx 1 +\frac{1}{n}r+\frac{1-n}{2n^2}r^2
\end{equation}
Vilket insatt ger (bortsett från alla termer av grad tre eller högre)
\begin{equation}
R \approx -1 + \prod_{i=1}^{n}(1 +\frac{1}{n}r+\frac{1-n}{2n^2}r^2) \approx \frac{1}
{n}\sum_{i=1}^{n}r_i +\frac{1}
{n^2}\sum_{i \neq j}^{n}r_i r_j +\frac{1-n}
{2n^2}\sum_{i=1}^{n}r_i^2 =
\\
\mu +
\frac{1}{n^2}\sum_{i \neq j}^{n}r_i r_j +\frac{1}
{2n^2}\sum_{i=1}^{n}r_i^2 -\frac{1}
{2n}\sum_{i=1}^{n}r_i^2 =
\mu - \frac{1}{2}(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}r_i^2-
\frac{2}{n^2}\sum_{i \neq j}^{n}r_i r_j -\frac{1}
{n^2}\sum_{i=1}^{n}r_i^2
)=\\
\mu - \frac{1}{2}(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}r_i^2-
\frac{1}{n}\sum_{i =0}^{n}r_i \times \frac{1}{n}\sum_{i =0}^{n}r_i) =
\mu - \frac{1}{2}(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}r_i^2-
\mu^2)
\end{equation}
Den sista termen är ett annat uttryck för variansen. Om man antar att man för varje avkastning r satsar en faktor k av sitt kapital blir relationen till slut
\begin{equation}
R = k\mu-\frac{1}{2}k^2\sigma^2
\end{equation}
Detta är anledningen till att högre hävstång inte alltid ger högre avkastning. För små värden på k kommer hävstången att vara ungefär proportionell, och för stora k:n är avkastningen negativ oavsett hur stort $\mu$ är.
Som ett exempel kan man titta på dagliga avkastningar för XACT OMXS30 under dess historik och plotta avkastningen som funktion av k. För små k är det en väldigt bra approximation, medan de försummade termerna börjar synas när k ökar.
Maximal avkastning får man genom att optimera $R(k)$ vilket ger lösningen $k=\frac{\mu}{\sigma^2}$, en formel som populärt kallas Kelly-kriteriet (en diskret version är vanlig i spelvärlden). Detta ger en övre gräns för hur stor position man bör ta. Vi har ännu inte tagit något hänsyn till risk, men att satsa mer än värdet givet av Kelly kommer enbart ge högre risk med lägre avkastning. Med detta som grund kan man bygga på mer genomgående metod för att optimera storleken på varje affär.
KvA
Vanligtvis redovisas den årliga avkastningen hos fonder som ett medelvärde för alla år. Detta är dock förutsätter dock att man investerar lika mycket vid början på varje år, vilket troligtvis inte är fallet. Snarare påverkas investeringen av ränta-på-ränta, vilket gör att den verkliga avkastningen som erhålls är geometrisk. Hur den förhåller sig till ett enkelt medelvärde är inte uppenbart, men det går dock att hitta en praktiskt användbar relation sinsemellan.
Den genomsnittliga geometriska och aritmetiska avkastningen är
\begin{equation}
R = -1 + \prod_{i=1}^{n}(1+r_i)^{\frac{1}{n}}
\\
\mu = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}r_i
\end{equation}
Faktorerna i R kan lätt taylorutvecklas om man antar små värden på r till
\begin{equation}
(1+r)^{\frac{1}{n}} \approx 1 +\frac{1}{n}r+\frac{1-n}{2n^2}r^2
\end{equation}
Vilket insatt ger (bortsett från alla termer av grad tre eller högre)
\begin{equation}
R \approx -1 + \prod_{i=1}^{n}(1 +\frac{1}{n}r+\frac{1-n}{2n^2}r^2) \approx \frac{1}
{n}\sum_{i=1}^{n}r_i +\frac{1}
{n^2}\sum_{i \neq j}^{n}r_i r_j +\frac{1-n}
{2n^2}\sum_{i=1}^{n}r_i^2 =
\\
\mu +
\frac{1}{n^2}\sum_{i \neq j}^{n}r_i r_j +\frac{1}
{2n^2}\sum_{i=1}^{n}r_i^2 -\frac{1}
{2n}\sum_{i=1}^{n}r_i^2 =
\mu - \frac{1}{2}(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}r_i^2-
\frac{2}{n^2}\sum_{i \neq j}^{n}r_i r_j -\frac{1}
{n^2}\sum_{i=1}^{n}r_i^2
)=\\
\mu - \frac{1}{2}(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}r_i^2-
\frac{1}{n}\sum_{i =0}^{n}r_i \times \frac{1}{n}\sum_{i =0}^{n}r_i) =
\mu - \frac{1}{2}(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}r_i^2-
\mu^2)
\end{equation}
Den sista termen är ett annat uttryck för variansen. Om man antar att man för varje avkastning r satsar en faktor k av sitt kapital blir relationen till slut
\begin{equation}
R = k\mu-\frac{1}{2}k^2\sigma^2
\end{equation}
Detta är anledningen till att högre hävstång inte alltid ger högre avkastning. För små värden på k kommer hävstången att vara ungefär proportionell, och för stora k:n är avkastningen negativ oavsett hur stort $\mu$ är.
Som ett exempel kan man titta på dagliga avkastningar för XACT OMXS30 under dess historik och plotta avkastningen som funktion av k. För små k är det en väldigt bra approximation, medan de försummade termerna börjar synas när k ökar.
Maximal avkastning får man genom att optimera $R(k)$ vilket ger lösningen $k=\frac{\mu}{\sigma^2}$, en formel som populärt kallas Kelly-kriteriet (en diskret version är vanlig i spelvärlden). Detta ger en övre gräns för hur stor position man bör ta. Vi har ännu inte tagit något hänsyn till risk, men att satsa mer än värdet givet av Kelly kommer enbart ge högre risk med lägre avkastning. Med detta som grund kan man bygga på mer genomgående metod för att optimera storleken på varje affär.
KvA
Inga kommentarer:
Skicka en kommentar