Vart stänger OMXS30 2011?

Idag stängde OMXS30 på 977,52 med en dag kvar på året. Baserat på historiska utfall för den sista dagen, vad är det troligt att det sista värdet för 2011 kommer ligga på?

Historiskt sett har börsen stigit i genomsnitt med 0,175% den sista handelsdagen baserat på 25 observationer. En Monte Carlo-analys ger är sannolikheten att det skulle kunna orsakas av slumpen med en chans på 0,328 (100 000 iterationer).

Här är alla utfall:

1986	0,944%
1987	0,670%
1988	-0,169%
1989	0,303%
1990	1,069%
1991	0,688%
1992	-0,095%
1993	-0,268%
1994	0,701%
1995	-0,369%
1996	1,232%
1997	1,133%
1998	-0,597%
1999	1,341%
2000	-0,907%
2001	0,865%
2002	-0,237%
2003	-0,365%
2004	0,147%
2005	-0,696%
2006	-0,243%
2007	0,725%
2008	0,770%
2009	-1,458%
2010	-0,819%

KvA

Tjäna pengar ur slumpen

Den mest kända och vida spridda devisen bland handlare världen över kan summeras i en mening: "Cut your losses short and let your profits run". För de flesta känns det så intuitivt när de hör det för den första gången, så länge du ser till att dina vinster överstiger dina förluster så spelar det ingen roll om du bara gissar på utvecklingen för vad det nu är du handlar. Ett tärningskast borde statistiskt sett generera lika många alpha-genererande affärer som icke alpha-genererande, men med vinster som är dubbelt så stora som förlusterna blir utfallet positivt (0,5*2-0,5*1=0,5).

Men så enkelt är det tyvärr inte. Att sätta en stop-loss kan i bästa fall skära av distributionen för dina affärer, men den flyttar också centreringen åt vänster. Om dina signaler verkligen är baserade på ett tärningskast så kommer vinster som är dubbelt så stora som förluster att ske endast en tredjedel av tiden. Utfallet blir då fortfarande noll, men dina affärer kommer att vara negativa oftare (2*(1/3)-1*(2/3)=0). På samma sätt kan man öka sin träffsäkerhet till nära 100% genom att alltid sälja när en affär blivit vinstgivande. Utfallet kommer fortfarande att vara noll då de få förlustaffärerna kommer att överskugga alla vinstaffärerna.

Men nu antar vi att marknaden rör sig enligt vad som dikteras av normalfördelningen. Starka rörelser upp eller ner är dock inte spridda slumpmässigt över prisserier utan tenderar att för det mesta klustra ihop sig med varandra. En annan tendens hos aktieavkastningar som motsäger en normal distribution är att det oftare än förväntat sker stora prisrörelser. En rörelse större än fyra standardavvikelser borde bara inträffa en gång på 63 år, vi har haft två sådana bara i år!

Låt oss testa om utfallet verkligen blir noll för en handlare som agerar helt slumpmässig men låter sina vinnande affärer löpa och stoppar sina förlorande snabbt. Med en chans på 1% att handlaren tar en position, lika stor chans för en negativ position som en positiv, simulerar vi hur det går om varje affär stängs så fort den har förlorat mer än 10% från sin högsta notering. För att få någon sort säkerhet på resultatet gör vi det många gånger, en miljon för att vara exakt, på historiska kurser för OMXS30 sedan start. Är majoriteten av alla handlare i en positiv position har vi en positiv position i index, annars ingen alls.






Fascinerande nog slog slumpen börsen genom att alltid gå ur förlustaffärer. Inget som helst försök till en förutsägelse om riktningen görs här utan slumpen styr självständigt när en position tas., men inte beslutet att stänga en position. P-värdet för ett bootstrap-test ligger på runt 0,136 och t-testet ger 0,126. Inte speciellt signifikant men det här är en väldigt ooptimerad version av vad som kan göras.



Tittar vi på distributionen över alla affärer ser vi att det flesta stängs vid en förlust på 10%, vissa under då stängningen kan hinna förbi stop-lossen innan vi hunnit reagera. På högersidan finns det inget som stoppar vinstchanserna så den avtar helt enkelt med magnituden.

För att summera så kanske fördelningen som aktiemarknaden uppvisar gör det fördelaktigt att sätta ut stop-loss. Till skillnad från en slumpmässig normalfördelning så finns det tendenser till att ha tjockare svansar på distributionen och till en viss grad seriekorrelation mellan noteringar. Kanske ligger det något i devisen om att stoppa förlusterna snabbt och låta sina vinster löpa fritt.


KvA

Börsens utveckling runt julafton

Julehögtiderna står för dörren och det motiverar en undersökning om hur börsen brukar bete sig runt den här tiden på året.




Baserat på historik från 1986 så har investerare varit som mest köpglada sista börsdagen före (t-1) och första börsdagen efter (t+1) julafton. Både dessa dagar har gett en genomsnittlig avkastning på runt 0,5% över vad som har kunnat förväntas. Därefter avtar den positiva avkastningen när vi går mot nyår. Fem börsdagar innan jul har börsen haft en tendens att avkasta mindre än vad som kunde förväntas, dock är det svårt att dra någon slutsats ur enkla medelvärden.

För att se hur avkastningen ser ut i relation till slumpen hos avkastningshistoriken gör vi en Monte Carlo-analys. En miljon apor simuleras, varje apa väljer 25 olika dagar att använda som jämförelse med utfallet för den apa som systematisk handlar runt julafton. Ur detta kan vi får en distribution att för att göra jämförelser.

Över visas distributionen för aporna i jämförelse med dagen innan julafton. P-värdet är här 0,07 vilket svagt indikerar statistisk signifikans då endast 7% av aporna kunde generera avkastning som översteg medelvärdet för t-1 på 0,44%.


För dagen efter julafton är signifikansen högre, med ett p-värde på 0,03. Övriga dagar i perioden som undersökts visar svag till ingen signifikans alls. För att summera så finns det en positiv tendens under julhögtiderna, men bara dagen före och dagen efter julafton.


KvA

Falsifierad alpha

För att fortsätta i samma anda som förra inlägget så ska vi diskutera hur ett mer vetenskapligt synsätt kan urskilja de som inte kan producera alpha ifrån de som faktiskt kan. Min slutsats var att alla handelssätt som baserades på subjektiva bedömningar var i grunden opålitliga då de inte gick att falsifiera. Att handla på känsla och "maginstinkt" kommer med största sannolikhet göra att man följer med resten av marknaden i avkastning långsiktigt. Genom att definiera vår hypotes objektiv kan vi åtminstone försöka bevisa motsatsen till skillnad från subjektiva hypoteser där sanningen för alltid kommer att vara oviss. Dock räcker det inte med att bevisa att hypotesen kan generera avkastning över det normala, vi måste även undersöka hur troligt det är att detta bara är ett resultat av slumpen. Det är därför vi tar hjälp av hypotestester.

Låt oss säga att vi vill bevisa att avkastningen för den sista börsdagen innan julafton är helt i linje med vad som skulle genereras av slumpen. Det vanligaste sättet att testa hypoteser likt den här är förmodligen genom ett t-test. Vi beräknar där medelvärdet, standardavvikelsen, antal observationer samt det förväntade medelvärdet för att få fram en kvot. Vi kan sedan jämföra det här värdet med en förväntad distribution och då få fram en signifikans. För historik på OMXS30 från 1986 till idag ger vårt test en signifikans på 0,0341. Det betyder att i ett fall av trettio så slumpen ge ett lika högt värde eller högre för avkastningen. Hade vi satt ett gränsvärde för där vi förkastar nollhypotesen vid 0,05 så kan vi bekräfta att alternativhypotesen är att acceptera, dvs att innan den 24 december har en effekt på börsens avkastning.

Dock finns det här ett antagande om att distributionen ska vara normalfördelad, vilket ibland inte går att göra speciellt inte för något så oberäkneligt som aktiepriser. Det är därför icke-parametriska tester kan vara bättre att använda.


Bootstrap
Med bootstrap-metoden gör vi färre antaganden om distributionen utan skapar genom att upprepade gånger slumpa fram urval ur vårt ursprungliga urval. Helt proceduren beskriv bäst genom att man föreställer sig en keno-dragning.

1. Testa regeln på dagliga historiska avkastningar som justerats så att de har ett medelvärde på noll (för att undvika influenser av historiska trender).
2. Ta ett medelvärde m av avkastningen för regeln och subtrahera varje daglig avkastning med det.
   
3. Skriv ner varje värde på en boll, en boll för varje dag regeln gett en signal. Medelvärdet för alla bollar ska vara noll efter steg 2 för N bollar.
   
4. Lägg alla bollar i en maskin som rör om dem. Dra slumpmässigt en boll, notera värdet och lägg sedan tillbaka bollen i maskinen.
   
5. Upprepa steg 4 N gånger och ta ett medelvärde över alla bollar.
   
6. Upprepa steg 4 och 5 många gånger så att en distribution fås. Antalet slumpade medelvärden som är lika med eller högre än m delas med antalet medelvärden som skapats för att beräkna ett p-värde. Detta är signifikansen att regelns positiva avkastning är ett resultat av slumpen.

Då vi låter slumpen skapa en distribution som vi jämför avkastningen med så kommer utfallet att skilja sig för varje gång vi gör en. För att undvika detta hade vi behövt köra steg 4 och 5 ett oändligt antal gånger, men pga av tidsbrist får vi nöja oss med det antal som ger tillräckligt stor exakthet. Jag testade signifikansen för regeln att köpa innan julafton är fick efter 10 miljoner iterationer ett p-värde på 0,0157. Detta är klart bättre än med ett t-test då det visar på ännu högre signifikans, chansen att det bara är slumpen som spelar in är en på 64.

Monte Carlo
Monte Carlo-metoden är förmodligen den som låter mest självklar när vi vill testa utfallet i jämförelse med slumpen. Den går ut på att slumpmässiga regler testas som ger lika många signaler som regeln vi vill testa. Det hela går till så här.

1. Testa regeln på dagliga historiska avkastningar som justerats så att de har ett medelvärde på noll (för att undvika influenser av historiska trender).
2. Regeln ger ett daglig medelvärde på m över N observationer.
   
3. Avkastningen för alla dagar i testperioden (fortfarande justerande med ett medelvärde på noll) skrivs ner på en boll och läggs i en maskin.
   
4. Dra en boll ur maskinen och notera värdet, lägg inte tillbaka den efteråt.
   
5. Upprepa steg 4 N gånger och ta ett medelvärde på alla bollar. Lägg sedan tillbaka de i maskinen.
6. Upprepa steg 4 och 5 många gånger för att få tillräckligt god precision.
   
7. Beräkna sedan p-värdet genom att dividera alla medelvärden från steg 5 som är lika med eller högre än m med det totala antalet.
   

För att jämföra utfallet ifrån bootstrap-metoden och t-testet drog jag 25 (antalet jular OMXS30 funnits) unika värden ur testperioden och beräknade p-värdet för 10 miljoner iterationer till 0,0712. Detta är klart högre än resultatet av de andra testerna då det ger en chans på 14 att resultatet kommer från slumpen.

Informationsutvinning
Det kan vara viktigt att notera att resultaten här baseras på antagandet att vi bara har testat en regel. Hade jag testat 14 olika dagar på året och tagit den bästa för att göra Monte Carlo-testet så hade ett p-värde på 0,0712 inte varit speciellt signifikant då det ligger väl inom förväntad sannolikhet.

Sammanfattningsvis så är hypotestester ett viktig verktyg för att utvärdera påståenden om alpha från objektiva beslutsmetoder. Både Monte Carlo och Bootstrap kan oftast ersättas av ett t-test då signifikansen sällan skiljer sig åt i en speciellt hög grad. Monte Carlo är speciellt tidskrävande att göra då det kräver unika slumptal som är lite jobbigare att generera än ounika som för Bootstrap. Dock anser jag att Monte Carlo är mer exakt. Som alltid med aktiemarknaden är det ingen exakt vetenskap och trots att vi vill hålla besluten så objektiva som möjligt så kommer nog alltid det korrekta tillvägagångssättet att vara subjektivt.

KvA

Illusionen om alpha

Vare sig man använder sig av p/e-tal eller ritar ut stöd- och motståndsnivåer så eftersträvar varje aktiehandlare samma sak: överavkastning, eller alpha. Att generera avkastning högre än den som en indexfond hade gett utan att samtidigt ta på sig mer risk är dock långt mycket svårare än det kan se ut. Varje gång en affärs görs måste en avgift betalas vilket direkt sätter positionen i en förlust, ju fler affärer som görs desto svårare är det att ta igen den här förlusten och hålla takt med index.

För att få någon sort chans att hålla ikapp med marknaden efter avgifter tar aktiehandlare till de mest påhittiga metoder. Det vanliga sättet att försöka hantera den slumpmässighet marknaden uppvisar är att utgå från att de redan tillgängliga bitar av information kommer att vara avgörande för framtida avkastning. Utifrån det försöker handlare hitta mönster som de anser kommer att ge en avkastning som överstiger både courtagekostnader och de avkastning som en indexfond ger. Här kommer dock en av människans mer påträngande psykologiska beteende fram. Genom vår evolutionära historia har vi varit beroende av vår förmåga att uppfatta mönster och samband i vår omgivning. Denna förmåga har utvecklats till den grad då vi oftare än inte accepterar ett bakomliggande mönster hellre än att se händelse som ett resultat av slumpen. Det har råkat vara så att det naturliga urvalet kan ge efter för beteende som gör att människan kopplar samman tillbedjan av övernaturliga väsen med god jaktlycka när samma beteende låter oss upptäcka att rätt tid att så grödor sammanfaller med specifika stjärnmönster på himlen. Det är inte helt absurd att jämföra vissa investeringsmetoder med religion och vidskepelse (därav den finurliga titeln). Kanske det roligaste exemplet på människor förmåga att identifiera mönster utan mening i aktiepriser är med subjektiv tekniska analys. Grafritande handlare har funnits i hundratals år och deras tillvägagångssätt har inte ändrat sig mycket. I grunden ligger ett subjektivt sätt att böja gångna händelser så att de bäst passar in i en bestäms slutsats. Ta Elliots vågoteori som ett exempel, där den grundläggande hypotesen är att alla aktiepriser rör sig i bestämda mönster.



Den slumpmässiga naturen hos aktiepriser gör att de mer än väl går att kopplas samman med de vågor som handlare som använder sig av metoden avser att rita. Problemet är dock att den subjektiva bedömningen inte erbjuder någon fördel i aktiehandel, det finns en mängd olika sätt olika personer kan rita strecken på sina grafer och komma till olika slutsatser. För att vi ska kunna vara säkra på att det fungerar, samt att det överhuvudtaget ska vara värt att handla på så måste det vara falsifierbart. Går det inte att bevisa att avkastningen hos en metod kan ge högre avkastningen än vad slumpen tillåter så är metoden helt och hållet värdelös och i det närmaste jämförbar med bön till de övernaturliga. Det är den här falsifierbarheten som skrämmer så bort aktiehandlare, de verkar föredra de luddiga och otydliga metoderna framför de som faktiskt gör verifierbara gissningar. För så länge det inte finns ett definitivt svar så kan inga fel bevisas och illusionen bibehållas. För att bortförklara dåliga affärer så kommer handlaren att referera till hur omständigheterna egentligen gjorde att han kunde handlat på ett annat sätt som gett rätt svar. Vinstgivande affärer kommer att förstärka tro på metoden för varje gång utan att de ses i relation till hur slumpmässiga de var.

Det är svårt att producera alpha, och att hantera slumpen inverkan på ens sparkapital kan vara ännu svårare. Hur mycket vi än vill det så finns det händelser som inte går att förutse hur mycket vi än försöker. En viktig fråga alla som handlar aktier måste ställa sig är vad de tror att deras fördel över de andra handlarna ligger i. Kan man inte svara säkert på den frågan har man ingen och gör bäst i att låta kapitalet ligga stilla. Med hänsyn till hur svårt det är och hur få som i slutända lyckas måste alla påståenden om förmåga till överavkastning granskas och kritiserar, samt ses med ett respektfullt användande av statistik för att kunna ses som en sann källa av alpha.